Bu para, bu paranın etrafında kaç tur döner? 1… 2…
Çok basit bir soru ne kadar zor olabilir? Şimdi size buna çok benzer başka bir soru göstereceğim, birbirine eşit iki para yerine biri diğerinin üç katı olan iki daire var bu soruda ve bunu kimse doğru cevaplayamadı. Bakalım siz cevaplayabilecek misiniz? Soru şöyle:
Şu gördüğünüz şekilde B dairesinin yarıçapı, A dairesinin yarıçapının üç katıdır. Gösterilen pozisyondan başlayarak A dairesi, B’nin etrafında yuvarlanıyor. A dairesi aynı konuma geldiğinde, B’nin etrafında kaç tur atmış olur?
- 3/2 B) 3 C) 6 D) 9/2 E) 9
Bu noktada durdurup düşünmeniz için size biraz zaman tanıyacağım ama biraz. Çünkü bu soru aslında hızlıca çözülmek için hazırlanmış, “basit” bir soru. Bekliyorum… Bulabildiniz mi?
Dediğim gibi, çok basit bir soru. Yani en azından bu üçü çıkagelene kadar öyle olduğu düşünülüyordu: Sivan Kartha, Bruce Taub ve Douglas Jungreis. Bu üç genç, birbirinden habersiz olarak bu soruyu hazırlayan komiteye, onun neden yanlış olduğunu anlatan mektup yazıp gönderdiler. Ve çok geçmeden haklı oldukları anlaşıldı.
Soruya bakacak olursanız, aslında cevap çok basit bir şekilde 3 gibi görünüyor. Ben de bunu size göstermek için biri diğerinin üç katı büyüklüğünde iki daire bulup kullanabilirim. Mesela bunu hatırladınız mı? 5 cm yarıçapında. Bunun üç katı büyüklüğünde… Plağımız var. O da 15 cm yarıçapında. Böylelikle bunun diğerinin etrafında kaç tur attığını birlikte görebiliriz.
Ama önce hesap yapalım. Büyük daire, küçüğün üç katı yarıçapa sahip. Bu durumda küçük dairenin çevresini iki pi r (2πr) olarak hesaplarsak… Büyük dairenin çevresi de iki pi üç r (2π3r) olur. Yani diğerinin üç katı. Ee küçük daire, büyük dairenin çevresi kadar yuvarlanmalı. O zaman 2π3r bölü 2πr eşittir üç. Yani toplamda üç tur atmalı. Çok basit. Değil mi?
Değil! Çünkü bu cevap doğru değil. Peki bu seçeneklerden hangisi o zaman? Hiçbiri… Çünkü sadece cevaplayanlar yanlış bilmedi. Onu hazırlayanlar da yanlış hazırladı. Bu soru Amerikanın 1982 yılındaki üniversite giriş sınavı SAT’den. O dönemde sınava giren ve sorunun yanlış olduğunu söylemek için mektup gönderenlerden biri (Douglas Jungreis) bugün bir matematikçi. Ben de bu konuyu ve kendisini geçen yıl Veritasium kanalında görmüştüm. Orada verdiği röportajda bakın bu soruyla ilgili ne diyor:
“Sorunun ne kadar kötü ifade edildiğini görünce çok şaşırdım. Cevabın üç olmasını umduklarını tahmin edip üçü işaretledim.”
Peki sorun tam olarak neredeydi? Cevap üç değilse neydi? Bunu matematiksel ispatlarıyla anlatabiliriz. Nitekim Veritasium kanalı da konuyu bu şekilde ele almış, İngilizce bilenlere o videoyu da izlemelerini tavsiye ederim. Fakat biz burada farklı bir “bakış açısının” altını çizeceğiz. Bakış açısının… Yani “referans sistemlerinin.” Çünkü bu sorudaki esas zorluk sezgisellik. Bakın soruda neredeyse sayı bile yok. Öyle trigonometri, karmaşık cebir, türev, integral falan hiçbiri yok. Hakikaten çok basit bir problem. Ona rağmen neredeyse hepimiz yanlış düşünüyoruz. Çünkü problemi sezgiselleştirmek çok zor. Doğru “bakış açısını” bulabilmek kolay değil. Sezgilerimize karşı olma nedeni ise belki de bu… Şu anda ona bakıyorum. Güneş… Gün… Bir gün.
O büyük daireyi Güneş, küçük olanı Dünya gibi düşünebiliriz. Aslında Dünya da Güneş’in yörüngesi etrafında çok benzer bir hareket yapıyor. Güneş’in etrafında bir tur atmasına, yani “dolanmasına” biz “bir yıl” diyoruz. Fakat bu hareketi sırasında aynı zamanda kendi ekseni etrafında da “dönüyor”. Buna da “bir gün” diyoruz. Tam bir dolanma hareketi yani bir yıl, 365.24 gün sürüyor. İlkokulda bize öğretildiği kadar basit bir bilgi ama önemli bir nüans var burada. Bunları hep böyle Güneş sisteminin dışındaki birinin perspektifinden anlatıyoruz. Yıldızların referans çerçevesinden. Ama bunların hiçbirini biz oradan görmüyoruz. Dünya’dan görüyoruz. Oysa fizikte bir şeyleri doğru yorumlamak için referans çerçeveleri çok kritiktir. Farklı gözlemciler farklı şeyler görebilirler. Ama bu gözlemlere doğru fizik yasalarını uyguladığımızda, her iki gözlemci de sonuçta uzlaşır.
“Bir gün” bizim için, Güneş’in gökyüzünde tekrar aynı konumuna gelmesi için geçmesi gereken zaman dilimini ifade ediyor. Eğer Güneş gökyüzünde bugün bu noktadaysa, tekrar bu noktaya gelebilmesi için tam 24 saat geçmeli. Fakat Dünya olduğu yerde dönmüyor. Tam bir tur attığında, aslında yörüngesinde de bir miktar ilerlemiş oluyor. Dolayısıyla Güneş’in gökyüzünde önceki günle aynı konuma gelebilmesi için, Dünya’nın tam bir turdan biraz daha fazla dönmesi lazım. İşte bu “daha fazla” dediğimiz miktar yaklaşık 4 dakika kadar. Çünkü bir günde 24 çarpı 60 yani 1440 dakika var. Bir günde yörüngede ilerleme miktarımız da 1 turun 365’te biri olduğuna göre 1440/365’ten kabaca 4 dakika kadar fazla dönmesi gerektiğini buluruz.
Demek ki 24 saat olarak tanımladığımız bu zaman dilimi, bu ekstra 4 dakikayı da barındırıyor. İşte bu yüzden dışarıdan bakan birinin, yıldızların referans çerçevesinden Dünya’nın kendi ekseni etrafındaki tam bir dönüşü 24 saat değil, 23 saat 56 dakika 4 saniye. Buna astronomide “sidereal day” yani Türkçesiyle “yıldız günü” deniyor. Çünkü bu süre gökyüzünde gördüğümüz bir yıldızın tekrar aynı konuma gelebilmesi için geçmesi gereken süreyi ifade ediyor. Bugün Vega yıldızını gökyüzünde bu noktada görüyorsak, 23 saat 56 dakika 4 saniye sonra aynı noktada görebiliriz. Güneş’i ise yörüngedeki hareketten dolayı ek 4 dakika sonra.
Aynı şekilde “bir günü” kendi bakış açımızdan, Dünya’dan hesapladığımız gibi… Yılı da bu şekilde hesaplıyoruz. Dünya’nın kaç kere döndüğünü sayıyoruz. Fakat dışarıdan, yıldızlardan bir gözlemci bakıp sayacak olsaydı bir yılda 365.24 tur attığımızı değil, 366.24 tur attığımızı görürdü.
Yıldız zamanını kullanmak bizim için manasız. Çünkü bizim hayatımız Güneş’i referans alıyor. “Gün”ü bile dilimizde böyle tanımlamışız. Tam olarak 1 Ocak’ta saat 12’de yıldız zamanını ve Güneş zamanını aynı anda başlattığınızı düşünün. Her gün olan 4 dakikalık gecikmeden dolayı 6 ay sonra, gece yarısı 12 olması gerekirken, öğlen 12 olurdu. Tam bir sene sonra da tekrar denkleşirlerdi. Çünkü bizim referans çerçevemizden tanımladığımız bir yıl 365.24 gün ve bir gün 24 saat. 365.24 x 24:00:00 = 8765.76 saat. Fakat yıldızların referans çerçevesinden bir yıl 366.24 gün ve bir gün 23:56:04. Bu iki sayıyı çarpınca 366.24×23:56:04=8765.76. Aslında her ikisi de aynı sonuç, fakat başka referans çerçevelerinden.
Hatta bu yüzden kışın gördüğümüz bazı yıldızları, yazın göremiyoruz. Çünkü gökyüzünde her gün 4 dakika kadar kayıyorlar. Bugün eğer gece gökyüzündeyse, altı ay sonra sabah gökyüzünde oluyor. Bu yüzden gündelik hayatta güneş zamanını kullanırken, astronomi hesaplarında yıldız zamanı tercih ediliyor. Hepsinin bu soruyla ne alakası var diye düşünebilirsiniz. Fakat aradaki şu fark var ya hani… 365.24 ve 366.24… İşte arada “tam bir” fark olması, cevabımızla çok ilgili. Çünkü cevabımız üç değil, dört. En başta yanlışı bulan arkadaşın ne dediğini hatırlayın.
“Sorunun ne kadar kötü ifade edildiğini görünce çok şaşırdım. Cevabın üç olmasını umduklarını tahmin edip üçü işaretledim.”
Soru kötü ifade edilmişti, çünkü neyin referans çerçevesinden ne sorulduğu açık değildi. Şimdi size göstereceğim. Ama sizin de görebilmenizi istediğim için önce bu bozuk paralarla göstereceğim. Siz de elinize iki tane aynı bozuk paradan alın. İkisi de aynı yarıçapa sahip. Bu durumda üç tur değil bir tur atmasını beklersiniz öyle değil mi? Çevirelim bakalım öyle mi oluyor… Daha yarıya gelmeden tam bir tur atıp aynı haline döndü! Tamamladığımda ise iki tur oluyor. Bunu neyle denerseniz deneyin. Aynı büyüklükteyse iki tur atar. Biz cevabın bir olmasını beklerken, cevap her zaman ikidir, yani bir “artı bir”. Tıpkı 365.24 +1 eşittir 366.24 deki gibi… Bu artı birin nereden geldiğini anlamak zor ama oraya geliyoruz.
Şimdi bu plak ve süngerle deneyelim ve cevabın dört olduğundan emin olalım. Başlangıç pozisyonunu bu şekilde ayarlıyorum ve çevirmeye başlıyorum. Bir… İki… Üç… Dört. Başladığım noktaya döndüğümde toplamda dört kere, bu süngeri, “bu pozisyonda” gördüm. Gülümserken 🙂 Dikkat edin, en başından beri ne anlatıyorum: Referans çerçeveleri. Ben bu olayı, dışarıdan bir gözlemci olarak görüyorum. Tıpkı yıldız zamanında olduğu gibi, artı bir olarak görüyorum. Şimdi olayı Dünya’nın ya da Güneş’in, bu dairelerin çerçevesinden görürsek ne olur ona bakalım.
Başlangıçta bu konumda. Çevirmeye başlıyorum, çevirdikçe kamerayı da döndüreceğim. Tamamlandığında kamera 360 derece dönmüş olacak. Bir… İki… Üç… Bu sefer de üç tur oldu! Sadece bakış açımı değiştirmek, adeta sonucu değiştirmiş gibi oldu. Ama bunu görmek için aslında kamerayı buraya koymamıza gerek yok. Dıştaki daireye şöyle bir işaret koyalım ve şimdi çevirelim. Bakalım kaç tur atıyor. Bir… İki… Üç… Aslında gülümseyen yüz dört kere aynı oryantasyonda dursa da, daire aslında sadece üç tur atıyor. Aynı oryantasyonda dememe dikkat edin. İşte algılarımız burada karışıyor. Halbuki referans çizgisini takip ederken ne olduğunu açıkça görüyoruz.
Aynısını bozuk paralarda da gösterebiliriz. İki tur attığını görmüştük, çünkü turda iki kere aynı oryantasyona gelmişti. Ama çevirirken referans çizgisini iyi izleyin. Aslında o da yalnızca bir tur atıyor! Olayları dairenin referans çerçevesinden, döndürerek izlemek, aslında hareketi daireden düz bir çizgiye aktarmak gibi. Dönen bir referans çerçevesinde dönen bir hareket, sabit bir çerçevede düz bir hareket gibi oluyor. Eğer bu büyük dairenin etrafında şöyle bir şeyi dolayacak olursam… Şöyle sarayım. Şimdi bunu açıyorum ve daireyi bu yol üzerinde yuvarlayacağım. Yine yalnızca üç tur attığını görüyoruz.
Bunu görmenin daha basit bir yolu ise geometriyi dikkatlice incelemek. Düz bir çizgi üzerinde ilerlerken çemberin aldığı yol, çemberin çevresi kadar. Çünkü merkezin düz çizgiye olan uzaklığı, çemberin yarıçapı kadar. Kabaca çemberin çevresini alıp, düz bir çizgiye açıyoruz. Fakat başka bir çemberin etrafında döndüğünde aldığı yol içteki çemberin çevresi kadar değil. Dıştaki küçük çemberin merkezinin aldığı yol kadar. Yani 3 yarıçap + 1 yarıçaptan, 4 yarıçaplık bir daire kadar. Bu yüzden de 3+1, 4 tur atıyor. Benzer şekilde eğer çemberin dışında değil de içinde dolanıyor olsaydı, bu sefer küçük dairenin merkezi, büyük çemberinkine daha yakın olacaktı. Kat edeceği yol 3 – 1 yani 2r olacağı için 2 tur atacaktı.
En başta yaptığımız hesaba, yani dıştaki çemberin çevresi bölü içteki çemberin çevresine N diyecek olursak… Bu durumda düz bir çizgide atılan tur sayısı N olur. Eğer çember içeride dönüyorsa N-1, dışarıda dönüyorsa da N+1. İşte bu yüzden sorunun cevabı beklenenin aksine üç değil, dört olmalıydı. Bu 3 akıllı öğrencinin yazdığı mektuplardan sonra dört cevabının doğru olduğu ve seçeneklerin arasında bile bulunmadığı anlaşıldı. Gazetelerde röportajlar verildi ve soru hazırlayan komitenin bu hatayı düzeltmesi onlara çok pahalıya patladı.
Cevap da soru kadar basit ama bir o kadar da zor. Basit çünkü matematiği hepimizin anlayabileceği kadar sıradan. Kolay, çünkü hepimizin düşünüp deneyebileceği, evde test edebileceği kadar basit. Zor, çünkü cevaba olan özgüvenimiz bizi şüphecilikten koparacak kadar güçlü. Kendi cevaplarımıza olan inancımız büyüdükçe, diğerlerinin fikirlerine de kulaklarımızı kapatıyoruz. Oysa hiç kimse kendi başına tüm doğruları bilemez. Ve koskoca uzmanlar karşısında doğruları söyleyen yalnızca üç öğrenci bile olsa, hatayı kabul edip düzeltebilmek bir erdem gerektirir. Basit bir soru. Ama büyük bir modern çağ sorunu.