Hareket imkansızdır! Zeno Paradoksu

Hareket etmenin imkansız olduğunu biliyor muydunuz? Bu videoyu sonuna kadar izledikten sonra öğrenmiş olacaksınız. Bir başka deyişle okula ya da işe geç kaldığınızda artık son derece mantıklı bir mazeretiniz olacak. Evet bütün üşengeçler, ağır kanlılar, size sesleniyorum! Şimdi sesi açın ve ekrana bütün dikkatinizi verin. 

Bir yerden bir yere gitmek her gün her zaman yaptığımız bir şey değil mi? Mesela okula, işe ya da markete alışveriş yapmaya her gün gidiyoruz. Hatta evin içinde bile susadığımızda ya da televizyon izlemek istediğimizde hareket etmiş oluyoruz. Yürümek… Bir vasıtayla bir yerden bir yere gitmek… Hepsi bir şekilde hareket etmek anlamına geliyor. Elimizi alnımıza götürdüğümüzde elimiz hareket ediyor. Gözlerimizi sağa sola çevirdiğimizde gözlerimiz hareket ediyor. Her şey hareket ediyor… Mu acaba?

Şimdi gelin şöyle bir deney yapalım: Şu önümdeki ağaç hemen hemen benden on metre uzaklıkta. Şimdi ağaca doğru yürümeye başladığımda yolun yarısına kadar kaç saniye zaman aldığını ölçeceğim. Yolun yarısını oraya yerleştirdiğim kırmızı topla belirttim.

Evet şu an yolun tam yarısına geldim. Kronometrem bana 5 saniye zaman geçtiğini söylüyor. Pekala şimdi ağaca doğru yürümeye devam edeceğim. Şu an ağaçla aramızdaki mesafenin tam ortasında bir oyuncak araba var. Yürüyorum ve oyuncak arabanın yanına geldiğimde kronometreme bakıyorum. Kronometre bu kez iki buçuk saniye geçtiğini gösteriyor. Pekala devam ediyorum o halde. Bu kez ağaçla aradaki yolumun yarı mesafesine bir elma koydum. Hop kronometreye bakıyorum; tam bir nokta üç saniye. Ağaca henüz varmadım. Ve yolun yarısına her varışımda bir miktar zaman harcamam gerekti. Yani ilk seferinde beş saniye sonra iki buçuk saniye şimdi de bir nokta üç saniye. Benim kronometreye basma zamanım ve kusursuz bir zamanlama yapamadığım için bir nokta yirmi beş saniye geçmiş olması gerekiyordu ama ben bir nokta üç saniye ölçtüm, olsun sorun değil. Bir nokta yirmi beş kabul edelim.

Şimdi soru şu: Ağaca kadar olan yolu yürürken arada kalan mesafenin her seferinde yarısına varabilmek için bir miktar zaman harcamam gerekti. Bu bir miktar konusuna dikkatinizi çekmek istiyorum. Ne kadar zaman geçtiği o kadar önemli değil. Normal olarak hızlı yürürsem daha kısa zaman geçer, yavaş yürürsem uzun zaman geçer. Ama sonuç olarak bir miktar zaman mutlaka geçecek. Değil mi? İçinizde ‘ee ne var bunda?’ diyenler vardır. Ama eminim içinizde ‘bir saniye neler oluyor?’ diyen birileri de mutlaka vardır! Böyle insanlar binlerce yıldır var.

Bundan yaklaşık iki bin beş yüz yıl önce, yani meşhur Sokrates’ten de önce bugünkü İtalya’nın güney batı kıyısındaki bir kasabada doğmuş huysuz bir adam vardı. Bu huysuz ihtiyar bir gün evine giderken benim az önce yaptığım şeyi yaptı ve dedi ki;

“Arkadaş bir dakika ya ne oluyor burada! Ben yolun her yarısına gelişimde bir miktar zaman harcıyorsam ve her seferinde önümde yine yolun yarısı varsa… bu kadar zamanı toplarsam ben eve hiç varamayacağım galiba!”

Evet, zaman her yarı yolda gittikçe azalıyor, yani mesafe kısaldığı için her seferinde daha az zaman geçiyor ama sonuçta üç beş bir miktar zaman geçiyor. Ve işte bu bütün üç beşleri toplaya toplaya sonsuza kadar sonsuz zaman geçmesi gerekecek! Gidilecek yer neresi olursa olsun, eğer sonsuz zaman geçmesi gerekecekse… O zaman hareket etmek imkansızdır!

Bu argümanı mantık çerçevesinde ele alacak olursak:

1. Hareket bir süper görevdir, çünkü belirlenmiş herhangi bir mesafe boyunca hareketin tamamlanması sonsuz sayıda adım içerir, 
2. Süper görevler imkansızdır, 
3. Bu nedenle hareket de imkansızdır.

İşte Elealı Zeno’nun ortaya attığı bu paradoks matematik tarihinin en büyük tartışma konularından biri oldu ve inanmayacaksınız bugüne kadar güncelliğini korudu. Zeno’nun çağdaşı düşünürler, matematikçiler kendilerince cevaplar verdi. Bilim ve düşünce dünyasının en büyük zihinleri bu problemi çözebilmek için çaba sarfetti.

Einstein’ın hayali yeğeni bile bir filmde bu paradoksu kullandı. Hem de çok zekice bir yerde…

 

• Sanırım amcan dans etmemizi istiyor.

• Alakası yok Ed, oradan buraya atlayamazsın.

• Neden olmasın?

• Senin gibi parlak ve ünlü bir bilim adamının Zeno’nun paradoksundan habersiz olduğunu söyleme bana.

• Hatırlat.

 

 

O hatırlatmadan önce bu paradoksu çözmeye çalışan ünlü bir kaç isimden bahsedelim. Mesela Sinoplu Diyojen’den. Hani şu Büyük İskender’e posta koyan yürek yemiş düşünür. Kendisine bu paradokstan bahsettiklerinde karadenizlilere özgü pratik zekasıyla dedi ki “Bunu çözmek yerine Zeno’nun yanıldığını gösteririm.” Yerinden kalktı ve yürüyerek hareket etmenin imkansız olmadığını gösterdi. 

Meşhur Aristo, Zeno’nun ortaya attığı hemen hemen bütün paradokslara şüpheci yaklaştı ve bu problemde yarı yolu kat etmek için geçen zamanın da azalmasından yola çıkarak her halükarda varış noktasına varıldığını iddia etti. Aristo bu problemde bölünebilirlik fikri üzerinde de kafa yormuştu. Neyi nereye kadar bölebiliyoruz? Zaman ne kadar bölünebilir? Mesafe ne kadar bölünebilir? 

Bütün zamanların en büyük üç matematikçisinden biri olarak kabul edilen Arşimet ise haliyle matematiksel bir çözüm önerdi. Düzgün olmayan bir şeklin alanını hesaplamak için geliştirdiği yöntemle aynı yöntemi kullanarak gittikçe azalan kesirlerin toplamının sonlu bir sayı olduğunu kanıtladı. Arşimet gerçekten büyük bir matematikçiydi çünkü bugünkü bilgimizle bizler de onun vardığı sonuçların aynısına varıyoruz.

Zeno’nun ortaya attığı diğer paradokslar da benzer çelişkiler üzerine kuruluydu. Mesela; Akhilleus ve kaplumbağanın yarışı.

Antik çağların efsane savaşçısı Akhilleus ile kaplumbağa yarışmaya karar verirler. Ancak yiğit ve alicenap Akhilleus kaplumbağaya bir imtiyaz tanır. Kaplumbağanın yarışa yolun yarısından itibaren başlamasına izin verir.

Huysuz ihtiyar Zeno tam burada yine araya girer!

Yarış başladığında Akhilleus yolun yarısına yani kaplumbağanın yarışa başladığı noktaya geldiğinde, kaplumbağa da kendi önündeki yolun yarısına gelmiş olsun. Yarış böyle devam edecek olursa ne kaplumbağa ne de Akhilleus bitiş noktasına varamayacakları gibi, Akhilleus da hiçbir zaman kaplumbağayı yakalayamayacak demektir! Koskoca Akhilleus. Kaplumbağayı! Hadi ordan!

Ya da bir başka paradoks: Yayından çıkmış bir ok düşünün. Bu okun havadayken hareketsiz olduğu bir an vardır. Değil mi? Öyle küçük bir an olsun ki bu, ok o an hareketsiz olsun. İyi ama böyle bir an varsa ok diğer bütün anlarda da hareketsizdir. Öyleyse ok hiçbir zaman hareketli olamaz.

Peki şuna ne demeli? Yan yana üç tane tren rayı üzerinde üç tane vagon olsun. Her vagonun üçer tane penceresi olsun. Siz ortadaki vagonun ilk penceresinin yanında oturuyorsunuz. Birinci tren sola doğru hareket ediyor olsun. Diğer tren ise aynı yönde iki kat hızlı gidiyor olsun. Siz bu durumda kendi hızınızın ne olduğunu asla öğrenemeyeceksiniz demektir. Bu paradoks aslında bize hareket dediğimiz şeyi tanımlayabilmek için sabit kabul edeceğimiz bir şeye, bir referansa ihtiyaç duyduğumuzu anlatır.

Arşimetten bu yana çok sayıda matematikçi bu paradokslarla ilgili kafa yordu. Aslında konu benim videonun başında varmaya çalıştığım ağaca varıp varamama konusundan çok daha derin. Yani ağaca varmak mesele değil. Zor olan kısım bu değil. Mesele çook daha derin.

Önce ‘kolay’ dediğim şeyi açıklamaya çalışayım:

Bir kenarı bir metre uzunluğunda bir kare çizelim. Bu kareyi ortadan ikiye bölersek karenin alanının yarısını elde ederiz. Bu yarım karelerden birini yine ikiye bölersek dörtte bir kare elde etmiş oluruz. Bu şekilde devam ederek

½ + ¼ + ⅛ + 1/16 + 1/32 … şeklinde sonsuza kadar toplayacak olsak aslında sonsuz bir alan elde etmeyeceğimizi görebiliyoruz. Elde edeceğimiz alan en başta elimizdeki bir metreye bir metre kareden başka bir şey olmayacaktır. İhtiyar Zeno’nun paradoksunun matematiksel çözümünü bulduk. Rahatladık mı? Hayır.

Alman matematikçi Herman Weyl paradoksu kökten çözmek için bir yol aramış ve demiş ki “Madem öyledir, ha bu çainat sonsuza kadar bölünemiyor olmasın da?” Ehm. Pardon o başkasıydı, Herman Weyl demiş ki, birbirinden farklı iki nokta arasında her zaman bir başka nokta olduğu fikrini reddedersek problem çözülür. Yani ağaca doğru yürürken her zaman önünde yolun yarısı kadar bir mesafe olduğunu söylemiştim ya… Öyle bir nokta vardır ki diyor Herman Weyl, artık önünüzde yolun başka yarısı kalmamıştır. Bir nokta sonra doğrudan ağaca varabilirsiniz.

Herman Weyl modern fizikçilerin uzay-zaman adını verdikleri evrenin yapısını sorgulamış ve sürekli sonsuza kadar bölünebilen bir evrende yaşadığımız fikrinin yerine süreksiz ve kesintili bir evrende yaşadığımız fikrini önermiştir.

Ama bir saniye! Eğer öyleyse… Ben en dibine kadar indiğim o noktadan bir diğer noktaya giderken… resmen… ışınlanmış oluyorum! Öyle mi?

• Buraya gelemezsin, kalan mesafenin yarısını aşman gerekir. Onun yarısını benim almam gerekir.

Sizce bu ikili ne zaman buluşurlar? 

Bu soruya yanıt olarak bir matematikçi asla buluşamayacaklarını söyler çünkü seriler sonsuz. 

• Ancak kalanın yarısı hala orada, o mesafeyi almam gerekir ve…

Bir fizikçi zaman sonsuzluğa eşit olduğunda buluşacaklarını söyler. 

• …onun da hala yarısı kaldı, o mesafenin yarısını alırım, ve onun da yarısı

Peki bir mühendis ne der? Bir dakika içinde tüm pratik amaçlar için yeterince yakın olacaklarını…

Gördüğünüz gibi ihtiyar Zeno 2500 yıl önce bir paradoks ortaya atmış, hala onu konuşuyoruz. Çünkü Bertrand Russell’ın dediği gibi Zeno’nun argümanları, bir şekilde, zamanından günümüze kadar inşa edilmiş olan neredeyse tüm uzay, zaman ve sonsuzluk teorilerinin temelini oluşturmuştur.

Russell’ın kasdettiği bu temel aslında “farklı düşünebilme becerisi.” Bir gün evine giderken ortaya attığı bu paradoksla “hareket etmek imkansızdır” gibi absürd bir sonuca varınca binlerce yıl insanların sonsuzluk kavramı hakkında düşünmesine yol açtı. Bir mesafe sonsuza kadar bölünebilir mi? Bölünemezse en küçük mesafe nedir? Planck uzunluğu mu? Hareket etmek imkansız değilse bizim anladığımız anlamda sonsuzluk diye bir şey yok mu?