Bugün sizlerle matematiğin en gizemli problemlerinden birini konuşacağız. Ama başlamadan önce, bize herhangi bir bilgiyi öğrenmenin güzelliğini gösteren, sayıların ve harflerin dünyasında bize rehberlik eden tüm öğretmenlerimize teşekkür etmek istiyorum. Onlar bize sadece formülleri değil, problem çözme sanatını, vazgeçmemeyi ve merak etmeyi de öğrettiler. Bu video, çözülmemiş bir matematik problemi üzerine. Ama aslında her problemi çözmek zorunda değiliz – bazen önemli olan o yolculukta öğrendiklerimiz. O yolculukta hep bizim yanımızda olan tüm öğretmenlerimizin “Öğretmenler Günü” kutlu olsun.
—
Şimdi sizinle çok basit bir matematik oyunu oynayacağız. Fakat şimdiden söyleyeyim, bu oyunun sırrını çözebilmeyi başaran kimse yok. Dünya’nın en zeki matematikçileri bir araya geldi ama yine de çözemediler. Hatta durum öyle umutsuz ki, çözmeye çalışmanızı bile tavsiye etmiyorlar. Oyunun kuralları çok basit. Bir sayı tutuyorsunuz. İstediğiniz sayıyı tutabilirsiniz. Ben tuttuğum sayıyı bu kağıda yazıyorum. 6’yı tuttum. Şimdi bu kağıdı bu kutuya atacağım ve karşılığında bana bir sayı verecek. Bu kutu ona verdiğim sayıya yalnızca iki şey yapabilir. Eğer verdiğim sayı çiftse, onun yarısını bana geri verecek. Eğer tek bir sayıysa, üç katını alıp bir ekleyerek geri verecek. Ve o bana kağıdı geri verdikçe, ben de çıkan sonucu ona geri vermeye devam edeceğim.
6’yı kutuya atıyorum. Çift bir sayı olduğu için kutu bana 3 verdi. Şimdi 3’ü kutuya geri atacağım. 3 tek bir sayı olduğu için bana 10 sayısını verdi. 10 tekrar kutuya atıyorum. Çift bir sayı olduğu için 5 aldım. Şimdi bu tekrar tek bir sayı, dolayısıyla 5’i kutuya atınca… Bana 16 verdi. Böyle atmaya devam ediyorum. 16’nın yarısı 8. 8 de çift bir sayı, 4… Ee 4’te çift bir sayı, 2. Bu da çift, 1 verdi. Şimdi tek bir sayı olduğu için üç katının bir fazlasını verecek. Yani 4. 4 çift bir sayı olduğu için yarısı 2… Bir dakika. Biz buradan geçmiştik! Bir döngüye girdiğimizi fark ettiniz mi?
En başta 6 ile başladım. Sonra 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1… Sonsuza kadar bu döngüde hapsoldum. Tabii sonsuza kadar kutuya kağıdı atmaya devam etmeyeceğim 🙂 Fakat başka bir sayı deneyebilirim! Hatta siz de deneyin, istediğiniz sayıyı seçin. Öyle illa 1 ila 10 arasında olmasına gerek yok. İsterseniz doğum yılınızı seçin, alın bir hesap makinesi. Başlayın bu kutunun yaptığını yapmaya. Çiftse yarıya böl, yani x/2. Tekse de üçle çarp bir ekle, yani 3x+1. İddia ediyorum. Hangi sayıyı seçerseniz seçin, eninde sonunda 4-2-1 döngüsüne hapsolacaksınız. Bu kutu, her ne yapıyorsa ki aslında ne yaptığını da biliyoruz. Çiftse ikiye bölüyor, tekse üç katına bir ekliyor. Ama her ne büyüsü varsa, tüm sayıları 1’e geri gönderiyor. Yani en azından kutunun iddiası bu. Matematikte buna, “Collatz Conjecture” yani “Collatz Savı” ya da basitçe “3x+1” deniyor. Hangi sayıyı seçersek seçelim, eninde sonunda bu döngüye hapsolacağımızı iddia ediyor. Fakat tüm eforlara rağmen bunun bir ispatı yapılamadı. Bir yerlerde bu zinciri kırıp sonsuza giden bir sayı var mı? Yoksa 4-2-1’den başka kendi döngüsünü kuran başka bir sayı var mı? Bilmiyoruz. Bu problem neredeyse 90 yıldır çözülemedi.
Dünyanın en meşhur matematikçileri bu problem üzerinde kafa yordular. Ama ne ispatlayabildiler ne de çürütebildiler. Hatta büyük matematikçi Erdös bu problem hakkında “Matematik bu problemi çözebilmeye henüz hazır olmayabilir” bile dedi. Bu kadar basit görünen, ama böylesine zor bir soruyu çözene ise… Öyle daha önce anlattığım milenyum sorularında olduğu gibi milyon dolarlık ödül falan da yok üstelik. Peki bu problem niye adeta böyle dışlandı? Gerçekten çözmek imkansız mı? Neden 3x+1 yapıyoruz da 3x-1 ya da 2x+3 ya da başka bir şey yapmıyoruz? Ve hepsinden öte, bunu çözmenin bize nasıl bir katkısı olabilir?
Probleme geri dönelim. Her şeyden önce düşünmemiz gereken, böyle bir problemi nasıl çözebileceğimiz. İlk akla gelen “brute force”, yani “kaba kuvvetle” çözmeye çalışmak. Bütün sayıları sıradan tek tek denemek. En başta yaptığım gibi. Kağıt kalem alarak siz de deneyebilirsiniz ama bu elle olacak iş değil, onu söyleyeyim. Matematikçiler günümüzde 2.95×10^20’ye yani 295.000.000.000.000.000.000’e kadar olan tüm sayıları bilgisayar aracılığıyla denediler. Ve bunlardan hiçbiri Collatz sanısını çürütemedi. Her biri, eninde sonunda 4-2-1 döngüsüne döndü. Ama belki çok daha büyük bir sayı vardır ve sanıyı çürütüyordur. Fakat her bir sayıyı tek tek denemek, belki de pek akıllıca bir yöntem değil. Özellikle eğer bu sayı çok büyükse, bilgisayarlarımız hiçbir zaman bu sayıyı bulamayabilir. Bu problemi çözebilmek için kaba kuvvetten daha akıllıca yöntemlere ihtiyacımız var.
Örneğin ilk yapılabilecek şeylerden biri, kaç adımda 1’e ulaştığımızı saymak. Belki bir örüntü yakalarız! Örneğin en başta 6 için bunu yaptığımızda 8 adımda 1’e ulaşıyoruz. 5 için yapmaya kalkarsak, sadece 5 basamakta ulaşıyoruz. Fakat bazı sayılar çok daha farklı davranıyor gibi. Örneğin 26 ile başlarsak yalnızca 10 basamakta ulaşıyoruz fakat bir sonraki sayı 27’yi seçecek olursak bir noktada 9232’ye kadar çıkıyoruz! Sanki sonsuza kadar artacakmış gibi oluyor. Sonradan düşmeye başlıyor ve toplamda 111 basamakta 1’e ulaşıyor. Eğer bunu tüm sayılar için yapacak olursak, hareket çok rastgele görünüyor. Sanki bir örüntü yok gibi. Ve gerçekten de eğer büyük bir sayı seçip, bunun 1’e nasıl ulaştığını inceleyecek olursanız çok rastgele görünen bir hareket karşınıza çıkıyor. Fakat işin esas büyüsü, bunun logaritmasını alınca ortaya çıkıyor. Adeta borsada çakılan bir hisse senedi gibi bir görüntü. Buna “geometrik Brownian hareket” deniliyor. Eğer bir bozuk para alıp tura geldiğinde grafiği yukarıya, yazı geldiğinde aşağıya hareket ettirecek olursanız buna çok benzer bir örüntü görürsünüz. Bazen üst üste çok fazla yazı gelir ve sayı giderek yükselir. Tıpkı 27’de 9232’ye ulaşmamız gibi. Fakat yazı turada hep ortanın etrafında gidip gelirsiniz. Üst üste çok fazla yazı gelse bile, bir noktada üst üste çok fazla tura üst üste gelerek bunu dengeler. Ama Collatz sanısında bir şeyler bizi aşağıya, 1’e doğru çekiyor. Sanki bozuk para hileli ve bir taraf daha ağır basıyor gibi.
Ayrıca dikkat ederseniz her bir sayıyı tek tek denememize gerek yok. Çünkü 6’yı hesaplarken, aslında 5’i de nasıl hesaplayacağımızı da çözdük. Bu yüzden bunları bağımsız hesaplar gibi görmektense, birbirine bağlı bir ağacın dalları gibi görmek çok daha akıllıca bir yaklaşım. Böylece herhangi bir sayıyı incelerken, daha önceden denediğimiz bir sayıya denk gelirsek, devam etmemize gerek kalmıyor. Çünkü bilgisayarda bu kadar çok sayıyı test ederken en büyük düşmanımız işlemci gücü. Bizi gereksiz işlemden kurtaracak her türlü akıl yürütmeye ihtiyacımız var. Bu vesileyle meraklısına da söylemiş olayım. Matematik ve programlamada bu tür akıl yürütmeli problemlerin sorulduğu bir platform bile var: ProjectEuler.net.
İşte bu akıllıca yaklaşımla problemi görselleştirirsek, ilk 1000 sayı için ortaya böyle bir yapı çıkıyor. Eğer Collatz sanısı doğruysa, her bir sayı bir noktada bu ağaca bağlanıyor olmalı. Dışarıda hiçbir yerde bağımsız bir halka ya da sonsuza kadar giden bağımsız bir kol olmamalı. Şu ana kadar denediğimiz her sayıyı, başlangıç noktası olarak da düşünmemelisiniz. Çünkü herhangi bir basamakta bu sayıya denk geliyor olmanız, sizi bu ağaca bağlıyor. Yani dışarıda bir yerlerde sanıyı çürütecek bir sayı varsa, bu ağaçtaki sayıların hiçbirine temas etmemeli. Bu sonsuza giden bir seri de olabilir, kendi içerisinde başka bir döngü de. Bu ağacı alıp her adımda tek ya da çift olmasına göre bir miktar döndürürsek, ortaya mercan benzeri hatta damarlarımıza benzeyen yapılar çıkıyor. Başlangıç noktasından çok fazla geçen olduğu için oralar kalın. Tıpkı atar damarlar gibi. İlerledikçe, başka sayılara geldikçe, tıpkı kılcal damarlar gibi yayılıyor.
Başka bir yöntem ise, tek tek bütün sayıların 1’e gidip gitmediğini denemek yerine, 1’den geriye doğru tüm sayılara ulaşmaya çalışmak. Fakat bu denemelerin hiçbiri Collatz sanısını çürütmeyi başaramadı.
Peki nedir bu 3x+1’in büyüsü? Yani niye özellikle 3x+1? Örneğin 2x+3 ya da 3x-1 yapsak ne olur? 3x-1 yaparsak ne oluyor birlikte görelim. Yine aynı sayı, 6 ile başlayalım. İkiye böldük, 3. Bu sefer üç katının bir eksiği, 8. Yine 4, 2, 1’e hapsolduk. 5’i deneyelim. Üç katının bir eksiği 14 ediyor. İkiye böldük 7. Üç katının bir eksiği 20. İkiye böldük 10. İkiye böldük 5. Başladığımız noktaya döndük! Bu tamamen başka bir döngü. Üstelik iki tane de değil, üç tane döngü var. Daha da ilginç yanı, Collatz sanısında yani 3x+1’de pozitif sayılar yerine negatif sayıları alınca başlıyor. -5 ile başladığımızı düşünün. Üç katının bir fazlası -14, bunun da yarısı -7. Üç katının bir fazlası -20, yarısı -10, yarısı -5. Tekrar başa döndük. Ama tanıdık geldi mi? 3x-1’deki durum bu!
3x+1’de sadece bir döngü yani 4-2-1 varken burada başka başka döngüler karşımıza çıkıyor. Tabii matematikçiler bunu da merak edip 3x+n gibi genellemeleri de araştırdılar hatta ax+n gibi. Yani akla gelebilecek tüm durumlar, 3x+1, 2x+3, 5x-1… Tabii iş oralarda daha da karmaşıklaşsa da 3x+1’in yeri bir başka.
Bunun sırrını çözebilmek için yapılan girişimlerden biri de dağılım grafiğini incelemek. Bu grafikte her bir sayı için, çıkılan en yüksek noktayı işaretliyoruz. Örneğin 6 ile başladığımızda en fazla 16’ya çıkmıştık. 5 ile başladığımızda da öyle. Fakat 26 ile başladığımızda bu 40’tı, 27’de ise sıradışı bir şekilde 9232’ye kadar çıkmıştı. İşte bu dağılımı incelediğinizde karşımıza böyle bir grafik çıkıyor. Biraz daha örüntüler kendini belli ediyor! Her şey belirli bir çizginin altında yer alıyor gibi görünüyor fakat grafik yanıltıcı olabilir. Bazı değerlere yakından bakınca, aslında çok uzaklarda olabildiğini görüyoruz. Fakat matematikçiler, bu tür problemleri çözemediklerinde, sınırlar koyarak ilerlemeye çalışırlar. Yıllar içerisinde bu grafik kullanılarak bazı sınırlamalar getirildi. Hatta 2019 yılında Terry Tao koyduğu limitle bu tartışmaya da noktayı koymuş gibi duruyor. Kendi deyimiyle keşfini şöyle tanımlıyor: “Collatz sanısını tam olarak çözmeden onu çözmeye ancak bu kadar yaklaşabiliriz”. Eğer izlemediyseniz matematiğin bu yaşayan dahisi Terry Tao hakkında da ayrıca bir video hazırlamıştım.
Çok “basit” bir problem ama bir o kadar da zor. Erdös’ün de dediği gibi belki de bunu çözebilmek için gerekli araçlara henüz sahip değiliz. Bugünün matematiği elimizdeki bazı problemleri çözmeye yetmiyor. Tam olarak da bu nedenle, Collatz sanısı biraz köşelere atılmış durumda. Çünkü bu problemi çözmeye çalışırken pek de bir şey üretilmiyor. Öte yandan milenyum problemleri gibi diğer problemleri çözmeye çalışırken, o yolda bulduklarımızın başka katkıları da oluyor. Bu yüzden Collatz sanısını çalışmayı hiçbir yeni matematikçi adayına önermiyorlar. Aksi takdirde, yıllarca uğraşıp elde avuçta yeni öğrenilmiş hiçbir şey olmayabilir. Fakat belki de, ona ulaşırken edineceğimiz bilgiler değil ama ulaştıktan sonra edineceğimiz bazı bilgiler, matematiğe bakış açımızı değiştirebilir.