Pi sayısının kaç basamağını bilmek gerek?

”Sen, o alan o çevre bölününce ve sonsuz rakam ile çıkan değişken dizilimli sayısın”

Dünyanın en gizemli sayılarından biri Pi sayısı. Hani 3,14 diye başlayıp sonsuza kadar giden o meşhur irrasyonel sayı. O kadar meşhur ki dünyanın pek çok yerinde 3. Ayın 14. Günü “Pi Günü” olarak kutlanıyor. 14 Mart pi gününüz kutlu olsun. Olsun da… nedir bu sayıyı bu kadar kutlamaya değer kılan şey? Aynı zamanda Albert Einstein’ın doğumgünü olması mı? Bu sayı okuldaki matematik dersleri dışında nerede karşımıza çıkar? Her yerde… Şu elimde gördüğünüz iğneyle bile pi sayısını gösterebilirim sizlere…

Fiziksel dünyamızla matematik arasındaki ilişki sadece takvimlerdeki bir günden ibaret değil. Önce bu oran nereden geliyor, onu bir hatırlayalım. Çemberin çevresinin onun çapına olan oranı bu sayı. Dünyadaki hangi çembere baksanız, hangisini ölçseniz hiç değişmiyor. Aralarında mutlaka bu oran var. 

3’e çok yakın bir sayı bu. Ama 3 değil. Yani pi’yi 3 alamazsınız 🙂 Bundan 4000 yıl önceki insanlar bile pi’yi 3 almıyorlardı. En azından 3’ten sonraki bir basamağı gayet iyi biliyorlardı. Bilmeselerdi Mısırlılar (onların hesabına göre Pi sayısı 3.1605) piramitleri inşa edemezlerdi. 

Arşimet’ten bugüne 3’ten sonraki virgülün sonrasını arayanlar, onun yüzlerce basamağını doğru olarak bulabildiler. Elle yapılan bu hesaplamalarda rekor 1946’da kırılmış. Virgülden sonraki tam 620 basamağı bulmuşlar. Çemberleri, tekerlekleri kullanmaya başladığımız dönemden 7-8 bin yıl kadar sonra geldiğimiz nokta hiç de fena sayılmaz. Fakat bilgisayarları icat ettiğimiz son 70-80 yılda bu sayının da canına okuduk diyebiliriz 🙂 En son geçen yaz bir rekor kırıldı. İsviçre’deki bir bilgisayar 108 gün çalışarak Pi’nin virgülden sonraki 62.8 trilyon basamağını hesapladı!

Bizim için büyük, sonsuza kadar giden bir sayı için küçük bir adım!

Peki bu kadar basamağı hesaplamaya gerek var mı? Sonuçta hafızası en iyi olan kişiler bile şimdiye kadar en fazla 70 bin basamağını ezberleyebildi. Hayır normalde bu kadarına gerek yok. Ezberleyenler bunu hobi ya da bir zihin egzersizi olarak yapıyor. Bilgisayarlar için de onların hesaplama gücünü kanıtlayan bir gösterge olarak değerlendiriliyor. 

Pi sayısının ilk 152 basamağını bilmek bırakın Dünya’da evrenin her yerinde işinizi görmeye yeter de artar bile… Nasıl mı? Büyük bir küre hayal edin. Bu büyük kürenin çapını biliyorsanız çevresini Pi değerini kullanarak bulabilirsiniz, öyle değil mi? Şimdi hayal ettiğiniz bu kürenin çapını 93 milyar ışıkyılı yapın. Evet gözlemlenebilir evrenin çapı bu: 93 milyar ışık yılı. Pi’nin sadece ilk 152 basamağıyla bu kürenin çevresini hesaplasak tam olarak sonucu bulur muyuz? Hayır. Bir kere evrenin küre olup olmadığını bile bilmiyoruz. Ama hata payımız Planck uzunluğundan daha az olur. Planck uzunluğu teorik olarak evrendeki en küçük mesafe. O kadar küçük ki onu ölçebilecek bir araç yok. Demek ki 152 basamağı bilmenin pratik olarak bir faydası yok. Pi’nin sadece ilk 40 basamağını kullanarak evrenin çevresini bir hidrojen atomunun inceliğinden daha az bir hatayla hesaplayabiliriz. İnsanların bugüne kadar yapıp da Dünya’dan en uzağa gönderdiği Voyager uzay aracının bize olan mesafesini yarıçap kabul ederek oluşturacağımız en büyük kürenin çevresini hesaplamak için Pi’nin en fazla 15 basamağına ihtiyacımız var. O yüzden NASA bile hesaplamalarında pi sayısının trilyonlarca basamağıyla uğraşmıyor. Ben yine de ihtiyaç olur belki diye ilk 100000 basamağının linkini açıklamalar bölümüne bıraktım.

Sonuç olarak Piphilology yöntemini kullanarak Pi’nin ilk 13 basamağını ezberleseniz yeter. Onu da nasıl yapacağınızı videonun en başında göstermiştim. En sonunda bir daha pekiştiririz, merak etmeyin. 

Şimdi bu iğneyle pi sayısı arasındaki ilişkiyi göstereyim size. Bir kağıdın üzerine yatay çizgiler çizelim. Ben bu iş için geçen yıldan kalan bir zinciri kırma posterinin arkasını kullanacağım. Çizgilerin aralığı iğnenin boyu kadar. Şimdi bu iğneyi kağıdın üstüne atıyorum. Nereye geldi? Çizgilerden birinin üstüne. Şimdi bir daha atıyorum. Bu kez iki çizginin arasına düştü. Bu şekilde iğneyi kağıdın üstüne atmaya devam edersem ne olur? Bazen çizginin üstüne bazen de arasındaki boşluğa düşer öyle değil mi? Peki bu işlemi 100 kez yaparsam ne kadarı çizginin üstüne, ne kadarı arasına düşer acaba? Eğer yazı tura atıyor olsaydık 50’ye 50 gibi bir oran olurdu öyle değil mi? O zaman iğne attığımızda da buna benzer bir oran çıkar mı? Hayır! İğnenin çizgilerden birinin üstüne düşme olasılığını tam olarak hesaplayabiliyoruz ve yaklaşık olarak %64 çıkıyor. Bir başka deyişle bu oran 2 / pi.

Ortada bir daire olmamasına rağmen rastgele gibi gözüken bir olayı pi sayısıyla formüle edebiliyoruz.  İlk kez 18. Yüzyılda yaşayan Buffon adında bir matematikçi bulduğu için buna “Buffon’un iğnesi problemi” adı veriliyor. İğnenin uzunluğu ve çizgilerin arasındaki mesafeye göre olasılık hesabı yapabiliyoruz. Bu formülü yeniden düzenlersek çizgilerin arasındaki boşluk iki iğne kalınlığında olduğunda doğrudan pi sayısına ulaşabildiğimizi görüyoruz.

Yani eğer kağıdın üstüne yüzlerce kürdanı ya da kibrit çöpünü rastgele dağıtırsak, çizgilerin üstüne gelenlerin tümüne oranı yaklaşık pi sayısı kadar olacaktır. 1901’de Mario Lazzarini adında bir matematikçi bunu 3408 kez deneyerek pi sayısının virgülden sonraki 6 basamağını doğru bir şekilde hesaplamayı başarmış. 

Ama dediğim gibi artık bilgisayarlarımız var. Bilgisayarda yazacağımız bir kodla bu iğnelerin onlarca ya da yüzlerce kez değil binlerce kez rastgele iki çizgi arasına atılmasını sağlayabiliriz. Bu denemelerin sayısını arttırdıkça pi sayısına giderek daha fazla yaklaşmaya başlıyoruz. 

Madem bilgisayarı kullanıyoruz. İğneyi de boş verelim şimdi. Onun ucunu kullanarak bilgisayarın bir karenin içerisine rastgele noktalar yerleştirmesini sağlayalım. Noktaların x ve y koordinatları tamamen rastgele seçilmesine rağmen oluşmaya başlayan deseni görebiliyor musunuz? Evet çeyrek bir daire. Zaten burada da içerideki noktaların tüm noktalara oranı π/4. Dolayısıyla bunu 4’le çarparak hem tam bir daireye hem de pi sayısına ulaşabiliyoruz. 

Bu yönteme Monte Carlo benzetimi deniyor. Çok sayıda tekrarlanan rastgele örneklemelerle, bir takım nümerik sonuçlar elde etmeye yarayan sayısal hesaplama algoritmaları olarak tarif edebiliriz. Bilimin birçok alanında yaygın olarak kullanılıyor bu yöntemler. İlk kez Atom bombasının geliştirildiği Los Alamos Laboratuvarında, bombanın patlamasından sonra dağılan nötronlara karşı kalkan modellemek için kullanılmış. Günümüzde hücre simülasyonundan, borsa modellerine; hava durumu gibi doğal olayların simülasyonundan, nükleer fiziğe kadar pek çok farklı alanlarda kullanılıyor. 

Bir çemberin çapına oranı deyip geçmemek lazım. Etrafımızdaki dairesel nesnelerde onu görebilmek zaten çok kolay ama iğnenin rastgele düşüşlerinde bile onu bulabildiğimize göre pi sayısı üzerinde biraz daha düşünmek gerekebilir. Çünkü hiç tahmin etmeyeceğiniz yerlerde bile karşınıza çıkıyor.

Örneğin nehirlerin kıvrımlarında… Onun uzunluğuyla ilgili elimizde iki veri var öyle değil mi? İlki kıvrımlarından dolayı oluşan toplam uzunluğu. İkincisiyse kaynağıyla denize döküldüğü yer arasındaki kuş uçuşu mesafe. İşte bu iki verinin yani toplam uzunluğun kat ettiği mesafeye oranı da bize yaklaşık olarak pi sayısını veriyor. 

İnsanların bugüne kadar pi sayısını kullanarak fiziksel dünyayı anlamak için yaptıkları çalışmalar sonucunda yüzlerce formül ortaya çıktı. Evet, bu formüllerin hepsinde de pi sayısı kullanılıyor. Ama bu sayının değerini takdir etmek için bu formülleri herkesin anlayabilmesini bekleyemeyiz.

Herkesin yapabileceği en kolay şey yılda bir kez de olsa, birkaç dakikalığına etrafında bu sayıyla ilişkili şeylere dikkatini vermek olabilir. 3. Ayın 14. Gününde bunu siz de yapın. Etrafınıza bir bakın. 

İster ışık ister ses olsun dalgalarla ilgili hemen her şeyde pi sayısı da var. Gökkuşağında hangi renklerin hangi sırayla gözükeceğini de belirliyor, piyanoda do notasına bastığınızda hangi sesin çıkacağını da… Yediğiniz elmanın şeklini meydana getiren hücrelerinin büyüme şeklinde de onu bulabilirsiniz, evrenin derinliklerinde meydana gelen bir supernova patlamasının parlaklığında da… 

”Sen, o alan o çevre bölününce ve sonsuz rakam ile çıkan değişken dizilimli sayısın”
3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7